Bob trabaja en la ferretería Construyendo el Futuro y debe organizar latas de pintura en cinco cajas las cuales están ubicadas una seguida de la otra, sin dejar ninguna caja vacía. Sin embargo, Bob desea que en cada dos cajas consecutivas haya en total 7 pinturas, ¿cuál es la menor cantidad de pinturas que Bob puede organizar?

Bob works at the Building the Future hardware store and must organize paint cans into five boxes which are placed one after the other, leaving no empty box. However, Bob wants every two consecutive boxes to have a total of 7 paintings. What is the smallest number of paintings that Bob can arrange?

A) 15

La mayor cantidad de pinturas se guarda en la caja del centro y en las otras dos cajas la menor cantidad. Así $1,6,1,6,1$ es el arreglo óptimo, pues las primeras $4$ cajas tienen que tener $14$ y el mínimo que podemos poner en la quinta caja es $1$. El total de pinturas es entonces $15$.

Siete libros se colocan como se muestra en la figura. Se tomó el primer libro (Matemáticas) y se colocó en el medio de los libros restantes. El proceso se repite 2022 veces en total. Determinar cuál libro estará en el primer lugar.

Seven books are placed as the figure shows. The first book (Mathematics) was taken and placed in the middle of the remaining books. The process is repeated 2022 times in total. Determine which book will be in the first place.

A) Ciencias

Se sabe que los tres últimos libros no se mueven, entonces se rotan los 4 primeros

0-> Matemáticas

1-> Ingles

2-> Ciencias

3-> Geografía

Si se divide el número de veces que se repite el proceso entre los 4 libros, el residuo indica la asignación del libro que queda primero, en este caso es ciencias.

El ingeniero Marcos se encuentra construyendo un salón de eventos y desea averiguar cuántas baldosas necesita para cubrir el piso del salón. La baldosa que desea comprar el ingeniero Marcos mide $\frac{4}{9}$ $m^2$. Si la medida de la baldosa es la misma de los cuadrados más pequeños que se muestran en el plano, ¿cuántas baldosas necesita comprar Marcos para el salón?, ¿y cuál es el área del salón?

Engineer Marcos is building an event room and he wants to find out how many tiles he needs to cover the floor of the room. The tile that engineer Marcos wants to buy measures $\frac{4}{9}$ $m^2$. If the size of the tile is the same as the smallest squares shown on the plan, how many tiles does Mark need to buy for the living room, and what is the area of the living room?

A) Se necesitan 729 baldosas y el área es $324$ $m^2$.

Cantidad de baldosas: $9*9=81$ cuadrados en el cuadro mediano del centro. Hay en total $81*9=729$ baldosas.

Área: Si tenemos 729 baldosas y cada una tiene un área de $\frac{4}{9}$ $m^2$, entonces al multiplicar $729$ por $\frac{4}{9}$ obtenemos $324$ $m^2$. Así, el área del salón es de $324$ $m^2$.

Oscar tiene una bolsa con ocho lápices que solo se pueden distinguir por su color. Tiene cinco azules y tres rojos. Susana le pide prestado los tres rojos y a Oscar se le ocurre un juego. Susana debe sacar un lápiz a la vez de la bolsa con los ojos cerrados, hasta que tenga los tres lápices rojos. Oscar le regalará los tres lápices rojos si logra sacarlos justo antes de extraer el sexto lápiz. ¿De cuántas formas puede ganar el juego Susana?

Oscar has a bag with eight pencils that can only be distinguished by their color. He has five blue and three red pencils. Susana asks him to borrow the three red ones and Oscar comes up with a game. Susana must take out one pencil at a time from the bag with her eyes closed, until she has the three red pencils. Oscar will give her the three red pencils if she manages to get them out just before he takes out the sixth pencil. In how many ways can Susana win the game?

A) 6

Como Susana debe extraer los tres lápices rojos justo antes de sacar el sexto lápiz, entonces tiene que suceder que su quinto lápiz debe ser el tercer rojo. Por ejemplo, si denotamos por $R$ la extracción de un lápiz rojo y por $A$ la de uno azul, entonces un posible resultado del juego es $RRAAR$. Note que necesariamente deben haber dos lápices azules. Para dar la respuesta sólo debemos contar de cuántas formas podemos organizar las dos letras $A$ y las dos letras $R$, porque la quinta tiene que ser una $R$. Es decir, no es posible el resultado $ARRRA$ porque en la cuarta extracción ya obtuvo sus lápices rojos. Recuerde que los lápices solo se pueden distinguir por su color. Los posibles resultados son:

$RRAAR,\ \ AARRR, \ \ ARARR, \ \ ARRAR, \ \ RAARR, \ \ RARAR$

Observación interesante: cuando queremos ordenar $n$ elementos que se repiten, o que no podemos distinguir porque $a$ son de un tipo y $b$ son de un segundo tipo, con $a+b=n$, entonces el número de posibles ordenamientos es $\dfrac{n!}{a!\cdot b!}$, donde $n!=1\cdot 2\cdot \ldots \cdot n$. Esto se puede generalizar a más de dos tipos de elementos.

$ABCDE$ es un pentágono regular. Encuentre la medida del ángulo entre $AC$ y $BD$.

$ABCDE$ is a regular pentagon. Find the measure of the angle between $AC$ and $BD$.

A) $72^{\circ}$

Llamemos $P$ a la intersección entre $AC$ y $BD$. Los ángulos internos de un pentágono regular miden $108^{\circ}$. Los triángulos $ABC$ y $BCD$ son ambos isósceles. Por tanto, los ángulo $\angle CBD$ y $\angle ACB$ miden $36^{\circ}$. Por tanto, el ángulo $\angle BPC$ mide $108^{\circ}$ y su suplemento es $72^{\circ}$, que es precisamente el ángulo que buscamos.

Las $44$ cifras del número $N$ constan de $10$ copias consecutivas del número $2022$ y una copia del número $2021$ en las últimas cuatro cifras:

$N = 202220222022\ldots 20222021$

Hallar el residuo de dividir $N$ entre $337$.

The $44$ digits of the number $N$ consist of $10$ consecutive copies of the number $2022$ and one copy of the number $2021$ in the last four digits:

$N = 202220222022\ldots 20222021$

Find the remainder after dividing $N$ by $337$.

A) 336

$N = 202220222022\ldots 20222021 \qquad \mbox{(10 bloques 2022).}$

Entonces

$N+1 = 202220222022\ldots 20222022 \qquad \mbox{(11 bloques 2022)}.$

Es claro que $N+1=2022\times K$ donde $K$ es un natural, ahora como $2022=6\times 337$, entonces

$N+1 = 6\times 337 \times K$

Así, $N+1$ es múltiplo de $337$ y por ello $N$ deja residuo $336$ al dividirse entre $337$.

El vértice $F$ de un cubo de arista (o eje) $2022$ se corta de forma que los puntos $A, B$ y $C$ del corte, se encuentran a igual distancia de $F$. De idéntica forma se recortan todos los vértices del cubo. En el poliedro resultante, las caras triangulares se pintan de rojo y las demás caras de azul. Hallar la longitud de $AF$, para que las áreas azul y roja sean iguales, (ver figura).

The vertex $F$ of a cube with edge $2022$ is cut in such a way that the points $A, B$ and $C$ of the cut are at the same distance from $F$. In the same way, all the vertices of the cube are trimmed. In the resulting polyhedron, the triangular faces are painted red and the other faces blue. Find the length of $AF$, so that the blue and red areas are equal, (see figure).

A) $x=2022\frac{\sqrt{3}}{(\sqrt{2})\sqrt{\sqrt{3}+3}}$

Llamemos a $AF=x$, las caras triangulares son triángulos equiláteros de lado $x\sqrt{2}$, cada cara triangular tiene área $\frac{\sqrt{3}}{4}(x\sqrt{2})^2$ y como son $8$ caras triangulares pintadas de rojo, entonces el área roja es $8\left(\frac{\sqrt{3}}{4}(x\sqrt{2})^2\right) = 4x^2\sqrt{3}.$ El área de la parte azul del poliedro es $6\left( L^2-4\frac{x^2}{2}\right)= 6(L^2- 2x^2),$ ya que en las caras del cuadrado se eliminan $4$ triángulos rectángulos isóseles de catetos $x$ y son $6$ caras.

Ahora, la igualdad $4x^2\sqrt{3}=6(L^2- 2x^2),$ con $L=2022$ nos da $x=2022\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}\sqrt{\sqrt{3}+3}}.$

Pedro tiene palillos de longitud $5\,cm$ y $7\,cm$. ¿Cuál es la menor cantidad de palillos que necesita para cubrir una recta de $2$ metros?

Nota: Los palillos no se pueden partir y deben colocarse uno seguido del otro. Escriba su respuesta con un número.

Pedro has toothpicks of length $5\,cm$ and $7\,cm$. What is the smallest number of toothpicks he needs to cover a $2$ meter straight line?

Note: The toothpicks cannot be broken and must be placed one after the other. Write your answer as a number.

30

Sea $a$ la cantidad de palillos de $7\,cm$ y $b$ la cantidad de palillos de $5\,cm$. Tenemos que hallar $a$ y $b$ tales que su suma sea mínima. Entonces:

$7a+5b=200.$

Luego, $b=\dfrac{200-7a}{5}=40-\dfrac{7a}{5}$, pero $a$ y $b$ son enteros no negativos, de ahí que $a$ es múltiplo de $5$. Veamos las opciones:

Egan Bernal y Tadej Pogacar compiten en una pista de ciclismo circular de 200 metros de longitud. Los dos inician desde el mismo punto de partida, con la diferencia de que Pogacar recorre la pista en sentido contrario a las manecillas del reloj, mientras que Bernal lo hace en el sentido de las manecillas. En la figura se muestra la relación entre el tiempo y la distancia recorrida por cada uno de ellos en los primeros 15 minutos. En los siguientes 15 minutos la relación es la misma que la primera, lo mismo sucede con los siguientes 15 minutos y así sucesivamente.

Egan Bernal and Tadej Pogacar compete on a 200 meter long circular cycling track. Both start from the same starting point, with the difference that Pogacar runs the track counterclockwise, while Bernal runs clockwise. The figure shows the relationship between the time and the distance traveled by each of them in the first 15 minutes. In the next 15 minutes the relationship is the same as the first, the same happens with the next 15 minutes and so on.

Si la carrera termina cuando los dos se vuelvan a encontrar en el punto de partida, ¿cuántas vueltas a la pista recorre Bernal? Escriba su respuesta como un número.

If the race ends when the two meet again at the starting point, how many laps of the track does Bernal cover? Write your answer as a number.

3

En la figura se puede observar que al término de los primeros $15$ minutos Egan Bernal recorre $75$ metros de la pista, mientras que Tadej Pogacar recorre $125$ metros. Por lo cual, al final de los primeros $15$ minutos ellos se encuentran por primera vez a lo largo de la pista en el mismo punto. En consecuencia, podemos afirmar que cada $15$ minutos ellos estarán en el mismo punto, a $75$ metros en el sentido de las manecillas del reloj o a $125$ metros en el sentido contrario, con respecto al punto de encuentro anterior.

Siguiendo el análisis anterior, debemos encontrar el mínimo entero $n$ (o el mínimo entero $m$) para el cual se cumple que $75n$ (o $125m$) es un múltiplo de $200$. Con lo cual se obtiene que $n=m=8$, y así Bernal recorre $3$ vueltas a la pista y Pogacar recorre $5$ vueltas.

Se tienen tres engranajes conectados, uno de 8 dientes, otro de 12 y el último de 5, como se muestra en la figura. Si las ruedas giran, ¿cuál es el mínimo número de rotaciones que debe dar la rueda central para que estén alineadas nuevamente las flechas en la dirección original? Escriba su respuesta como un número.

There are three meshed gears, one with 8 teeth, another with 12 and the last with 5, as shown in the figure. If the wheels rotate, what is the minimum number of rotations that the center wheel must do so the arrows line up again in the original direction? Write your answer as a number.

10

Para resolver el problema se debe dar cuenta de la aplicación del mínimo común múltiplo. Como cada engranaje contiene una cantidad específica de dientes, esta cantidad se usa para realizar dicho cálculo.

El $mcm$ esta dado por $mcm=2^3 ×3×5 = 120$.

El mínimo común múltiplo representa la cantidad mínima de dientes que se tienen que recorrer para que las fechas estén alineadas nuevamente. Como el engranaje del centro tiene 12 dientes, la cantidad de rotaciones sería 120/12 = 10.

Ana llama hermoso a un rectángulo si las dimensiones de sus lados son números naturales y las dimensiones de su perímetro y área son las mismas. ¿Cuántos rectángulos hermosos hay? Escriba su respuesta como un número.

Ana calls a rectangle beautiful if the dimensions of its sides are natural numbers and its perimeter and area are the same. How many beautiful rectangles are there? Write your answer as a number.

2

Sean $n$ y $m$ las medidas de los dos lados. Para el perímetro $u$ y el área $A$ se cumple que :

$u = 2(n+m)$ y

$A = nm.$

Como ambos deben ser el mismo número, entonces $2n + 2m = n m$.

Resolvemos para $n$:

\begin{eqnarray*} nm - 2n &=& 2m\ n(m-2) &=& 2m\ n &=& 2m/(m-2)\ &=&[2(m-2) + 4]/(m-2)\ &=& 2 + 4/(m-2) \end{eqnarray*}

Para que $n$ sea un número entero, $m-2$ debe dividir a $4$. Por lo que, $m-2 = 1$ o $m-2 = 2$ o $m-2 = 4$.

Esto da las soluciones $m=3$, $m=4$ y $m=6$.

Para $n$ se obtiene: $n= 6$, $n=4$ y $n= 3$.

Dado que los dos casos $m=3$, $n=6$ y $m=6$, $n=3$ producen rectángulos congruentes, hay exactamente dos

rectángulos hermosos: un rectángulo de $3\times 6$ y un cuadrado de $4\times 4$.

Sara debe elegir un número de cuatro cifras tal que el producto de las cifras de ese número sea par.

¿Cuántos números así hay?

Sara must choose a four-digit number such that the product of the digits of that number is even.

How many such numbers are there?

A) 8375

El total de números de cuatro cifras está dado por: $9\\times 10\\times 10\\times 10 =9000.$ Ahora, note que el producto de las cifras de un número es par, si alguna de las cifras es par. Vamos a calcular en cuántos de los números de cuatro cifras, NINGUNA de sus cifras es par, es decir los formados solamente por los dígitos $1,3,5,7$ y $9$; estos son: $5\\times 5\\times 5\\times 5=625$. Por lo tanto, hay $9000-625=8375$ números tales que ALGUNA de sus cifras es par y por lo tanto el producto de sus cifras también es par.