¿Cuántos números enteros positivos $n < 100$ existen tales que al dividir $n$ por 7, el cociente es igual al residuo?

How many positive integers $n < 100$ are there such that when dividing $n$ by 7, the quotient is equal to the residue?

6

El algoritmo de la división establece que $n = 7q + r$ con la condición necesaria de que $0 < r < 7$. Al ser el cociente igual al residuo, la expresión se simplifica a $n = 8q$ para valores de $q$ dentro del rango $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$. Esto genera los seis números enteros.

En el triángulo dado se tiene que $AD$ es la altura sobre el lado $BC$.

$BE$ es la bisectriz del ángulo $\angle ABC$.

Donde

$m\angle A = 64^\circ$

$m\angle C = 42^\circ$

La medida del ángulo $x$ es $(m\angle x)$:

In the given triangle we have that $AD$ is the height over side $BC$.

$BE$ angle bisector of $\angle ABC$.

Where

$m\angle A = 64^\circ$

$m\angle C = 42^\circ$

The measure of angle $x$ is ($m\angle x)$:

$127^{\circ}$

Es una persecución de ángulos comenzando con la información dada.
$m\angle B=180^{\circ}-m\angle A-m\angle C=74^{\circ}$
$z=m\angle B/2=37^{\circ}$
$y=90^{\circ}-z=53^{\circ}$
$x=180^{\circ}-y=127^{\circ}$

Los números $n,2n-2,4n-4,\cdots$ están en progresión aritmética. ¿Cuál es el quinto término en la sucesión?

The numbers $n,2n-2,4n-4,\cdots$ are in arithmetic progression. What is the fifth term in the sequence?

-8

La diferencia entre términos sucesivos debe ser constante en una sucesión aritmética, por tanto:

$(2n-2)-n=(4n-4)-(2n-2)$

lo que implica

$n-2=2n-2$

o

$2n=n.$

Por tanto, $n=0$. Así que la sucesión es $0,-2,-4,-6,-8$. El quinto término es $-8$.

Un cubo sólido de madera, de más de $2$ cm de lado, se pinta completamente de rojo por todas sus caras.

Luego se realizan cortes paralelos a las caras del cubo, cada $1$ cm, hasta dividirlo en pequeños cubos (cubitos), todos ellos de $1$ cm de lado. Se observa que la cantidad de cubitos que tienen exactamente dos caras pintadas de rojo es igual a la tercera parte de la cantidad de cubitos que no tienen ninguna cara pintada.

¿Cuál es la longitud del lado del cubo original?

A solid wooden cube, with a side of more than $2$ cm, is painted completely in red on all its sides.

Parallel cuts to the faces are made to each face, every $1$ cm, dividiing it up into small cubes, all of them with $1$ cm sides. The amount of small cubes which have exactly two painted sides is equal to a third of the number of small cubes with no sides painted.

What is the length of the side of the original cube?

8

Supongamos que el cubo original tiene $n$ cm de lado, donde $n$ es un número entero. Entonces la primera información que tenemos es que $n>2$. Al realizar la división se obtienen $n^3$ cubitos, algunos de ellos tienen exactamente $3$ caras pintadas de rojo, otros $2$ o $1$ cara pintada de rojo; incluso algunos cubitos no tienen ninguna cara pintada de rojo.

Los cubitos que no tienen ninguna cara pintada son los que se encuentran exactamente en el interior del cubo inicial, por lo que la cantidad total de estos son $(n-2)^3$. Por otro lado, los cubitos que se encuentran pintados en exactamente dos caras corresponden a los que están ubicados en las $12$ aristas del cubo inicial, pero no en las esquinas del cubo inicial, esto es, sin contar los de las esquinas que aparecen en los vértices. Así, hay $12(n-2)$ de estos últimos cubitos. De acuerdo al enunciado del problema, se tiene que $\frac{1}{3}(n-2)^3=12(n-2)$. Dado que $n>2$, el factor $n-2$ es distinto de cero, luego dividiendo en esta ecuación por $n-2$, se llega a que $(n-2)^2=12\times 3$. Vamos a resolver esta ecuación,

$(n-2)^2=12\times 3$
$n^2-4n+4=36$
$n^2-4n+4-36=0$
$n^2-4n-32=0$
$(n-8)(n+4)=0.$

Igualando cada factor a cero, se concluye que $n=8$ o $n=-4$. Puesto que $n$ es la longitud de cada lado del cubo original, se concluye que el valor de $n$ es $8$.

Un rectángulo tiene perímetro $P$ de $48\, \text{cm}$. Si su largo aumenta en $4\, \text{cm}$ y su ancho disminuye en $4\, \text{cm}$, el área del rectángulo no cambia.

¿Cuál es el área del rectángulo en $\text{cm}^2$?

A rectangle has perimeter $P$ equal to $48\, \text{cm}$. If its length grows by $4\, \text{cm}$ and its width diminishes by $4\, \text{cm}$, the area of the rectangle does not change.

What is the area of the rectangle in $\text{cm}^2$?

140

Sea:

$L$ = largo del rectángulo, medido en $\text{cm}$

$A$ = ancho del rectángulo, medido en $\text{cm}$

Entonces el área original es $LA$, medida en $\text{cm}^2$.

1. Ecuación del perímetro ($\text{cm}$)

El perímetro de un rectángulo es:

$P = 2(L + A)$

Como $P = 48$ $\text{cm}$:

$2(L + A) = 48$

Dividiendo entre 2:

$L + A = 24$

Obsérvese que $L$ y $A$ están en $\text{cm}$, por lo tanto $L + A$ está en $\text{cm}$.

2. Condición de igualdad de áreas ($\text{cm}^2$)

Área original:

Área original = $LA$ ($\text{cm}^2$)

Área después del cambio:

Área nueva = $(L + 4)(A - 4)$ ($\text{cm}^2$)

Como el área no cambia:

$LA = (L + 4)(A - 4)$

3. Desarrollo algebraico

Expandimos:

$LA = LA - 4L + 4A - 16$

Restamos $LA$ en ambos lados:

$0 = -4L + 4A - 16$

Dividimos entre 4:

$0 = -L + A - 4$

$A = L + 4$

4. Resolución del sistema ($\text{cm}$)

Sustituimos en $L + A = 24$:

$L + (L + 4) = 24$

$2L + 4 = 24$

$2L = 20$

$L = 10$ $\text{cm}$

Luego:

$A = L + 4 = 10 + 4 = 14$ $\text{cm}$

5. Verificación ($\text{cm}$ y $\text{cm}^2$)

Perímetro:

$2(10 + 14) = 2(24) = 48 \text{ cm}$

Área original:

$10 \times 14 = 140$ $\text{cm}^2$

Área nueva:

$(10 + 4)(14 - 4) = 14 \times 10 = 140 \text{ cm}^2$

Se dice que un número natural $A$ es compatible con otro número natural $B$, si $A$ es divisible entre la suma y entre el producto de todos los dígitos de $B$ que sean distintos de cero. Por ejemplo, $144$ es compatible con $42$, ya que $4+2=6$, $4\times 2=8$, y $144$ es divisible entre $6$ y entre $8$. ¿Cuántos números naturales de cuatro dígitos son compatibles con $2026$?

A natural number $A$ is compatible with another natural number $B$, if $A$ is divisible by the sum and by the product of all the digits of $B$ that are not zero. For example, $144$ is compatible with $42$, since $4+2=6$, $4\times 2=8$, and $144$ is divisible by $6$ and $8$. How many four digit numbers are compatible with $2026$?

75

Los dígitos de $2026$ distintos de cero son $2$, $2$ y $6$. Su suma es $2+2+6=10$ y su producto es $2\times 2\times 6=24$, de manera que un número compatible con él tendrá que ser divisible entre $10$ y $24$ al mismo tiempo. Notemos que el menor número que contiene a ambos como factores es el $120$, que es el mínimo común múltiplo entre ellos. Entonces, un número es compatible con $2026$ si es divisible entre $120$.

Ahora, falta buscar los múltiplos de $120$ que sean de cuatro cifras. El primero de ellos es $120\times 9=1080$, y el mayor es $120\times 83=9960$. La cantidad de múltiplos de $120$ que hay entre $120\times 9$ y $120\times 83$, incluidos ambos, es de $83-9+1=75$.

En la figura, $ABCD$ es un cuadrado y $CED$ es un triángulo equilátero. ¿Cuánto mide el ángulo $\alpha$?

In the figure, $ABCD$ is a square and $CED$ is an equilateral triangle. What is the measure of angle $\alpha$?

$30^\circ$

Como $ABCD$ es un cuadrado, todos sus lados tienen igual longitud y, de igual manera, como $CED$ es un triángulo equilátero, sus lados también tienen igual longitud. Entonces
$AD=DE=EC=CB$ y, por tanto, los triángulos $ADE$ y $BCE$ son triángulos isósceles congruentes por LAL, donde $\angle(ADE)=\angle(BCE)=150^\circ$, por tanto $\angle(DEA)=\angle(BEC)=15^\circ$ y como $\angle(DEC)=60^\circ$ entonces $\alpha=30^\circ.$

En una academia de exploradores intergalácticos, cada cadete recibe un código de Identidad compuesto por una secuencia de cuatro letras del alfabeto español ($27$ letras en total). Para que un código sea válido, debe cumplir con las siguientes leyes de la Alianza:

• Las letras deben aparecer en estricto orden alfabético.

• El código debe estar formado por exactamente tres letras distintas, de las cuales una aparece exactamente dos veces para identificar al explorador con una familia específica.

Por ejemplo: Los códigos: $AABC$, $MPPZ$ y $CJKK$ son válidos, pero los códigos: $ABCD$, $ACCB$ y $ABBB$ son inválidos.

¿Cuántos códigos de identidad diferentes pueden generarse bajo estas condiciones?

In an intergalactic explorer academy, each cadet receives an Identity Code composed of a sequence of four letters from the Spanish alphabet (27 letters in total). For a code to be valid, it must comply with the following Alliance laws:

• The letters must appear in strict alphabetical order.

• The code must consist of exactly three distinct letters, one of which appears exactly twice to identify the explorer with a specific family.

For example: The codes $AABC$, $MPPZ$, and $CJKK$ are valid, but the codes $ABCD$, $ACCB$, and $ABBB$ are invalid.

How many different identity codes can be generated under these conditions?

8775

Primero, elegimos 3 letras de las 27 disponibles. El número de formas de hacerlo es:
$\dbinom{27}{3} = 2925.$

Ahora, para cada conjunto de tres letras, existen exactamente $3$ formas de formar el código (repitiendo la primera, la segunda o la tercera letra).

Por lo anterior, la cantidad de códigos de identidad posibles son:
$3\times 2925=8775.$

Juan tiene $2026$ cubos de arista $1\, \text{cm}$ como se muestra en la figura y quiere construir con ellos el cubo más grande posible. ¿Cuántos cubos utilizará? Su respuesta debe ser un número entero sin comas ni puntos.

Juan has $2026$ cubes of side $1\, \text{cm}$ as shown in the figure and wants to build with them the largest cube possible. How many cubes will he use? Your answer must be an integer without commas or periods.

1728

Debemos buscar el mayor número natural $n$ tal que $n^3 \leq 2026$, así $n=12$ es dicho número, debido a que $(12)^3=1728$ y $(13)^3=2197$. Por tanto Juan utilizará $1728$ cubos.

Apolo construye todas las piezas triangulares posibles que tengan lados de longitud entera y un perímetro de $11\, \text{cm}.$ No hay piezas repetidas (congruentes); cada triángulo es único en su forma.

Luego juega a formar polígonos con ellas, juntándolas por los lados con igual longitud. ¿De cuántos centímetros es el mayor perímetro que puede tener un polígono construido con todas las piezas de Apolo? Su respuesta debe ser un número entero sin comas ni puntos ni unidades.

¡Pista!
Recuerde que, en todo triángulo, la suma de las longitudes de dos de sus lados siempre debe ser mayor que la longitud del tercer lado.

Apolo builds all possible triangular tiles that have sides of integer length and a perimeter of $11\, \text{cm}.$ There are no repeated tiles (congruent); each triangle is unique in its shape.

He then plays at forming polygons with these tiles, joining them at sides of equal length. How many centimeters is the perimeters of the largest perimeter shape that can be formed with Apolo's tiles? Your answer must be an integer, without commas, periods, or units.

Hint!
Remember that, in any triangle, the sum of the lengths of two sides must exceed the length of the third side.

20

Las piezas triangulares con perímetro $11\, \text{cm}$ cuyos lados tiene longitud entera son: $(1,5,5),$ $(2,4,5),$ $(3,3,5)$ y $(3,4,4).$

Mirando todos los casos podemos ver que el máximo es $20$, pues debemos unir $3$ con $3$, $4$ con $4$, y $5$ con $5$.

Para conseguir un polígono con perímetro máximo, Apolo puede juntar las piezas así: $(1,5,5)(5,3,3)(3,4,4)(4,5,2)$ obteniendo un polígono con perímetro: $20\, \text{cm}.$

Colocamos los números pares de la siguiente manera:

¿En qué columna está el número $2026$? Su respuesta debe ser un número entero sin comas ni puntos.

NOTA: Cada columna tiene un término más que la columna anterior.

We place even numbers in the following way:

In which column is number $2026$?

NOTE: Each column has one more row than the previous column. Your answer must be an integer without commas or periods.

45

El número de impares que hay desde $2$ hasta $2026$ es $1013$. Observemos que en la primera columna hay un número, en la segunda columna hay 2, en la tercera columna 3 y así sucesivamente. Por tanto debemos buscar el mayor $n$ (columna $n$) tal que $1+2+3+\cdots+n$ sea menor o igual que $1013$, esto es

$1+2+3+\cdots+n \leq 1013$
$\frac{n(n+1)}{2}\leq 1013$
$n(n+1)\leq 2026.$

Observemos que para $n=44$, se tiene que $44\times 45=1980$, el cual es menor que $2026$, mientras que para $n=45$ tenemos que $45\times 46=2070$, el cual es mayor que $2026$. Por tanto, el número $2026$ está en la columna $45$.

Un tablero cuadrado de $8 \times 8$ unidades se debe dividir en exactamente $3$ rectángulos de dimensiones enteras. ¿De cuántas formas distintas se puede hacer esta división? Su respuesta debe ser un número entero sin comas ni puntos. (Rotaciones y reflexiones cuentan como divisiones distintas.)

A square $8 \times 8$ units board is to be divided into exactly $3$ rectangles of whole dimensions. In how many different ways can this division be made? Your answer must be an integer without commas or periods. (Rotations and reflections count as distinct divisions.)

238

Para determinar el número total de formas de dividir un cuadrado de $8 \times 8$ en $3$ rectángulos de dimensiones enteras, se debe identificar las dos únicas estructuras geométricas posibles.

La primera estructura consiste en realizar dos cortes paralelos, ya sean ambos horizontales o ambos verticales. En este caso, se deben elegir $2$ líneas de corte de entre las $7$ disponibles en la cuadrícula. El cálculo para los cortes horizontales es el combinatorio $\binom{7}{2} = 21$, y una cantidad idéntica para los cortes verticales, lo que resulta en un total de $42$ configuraciones.

La segunda estructura posible es aquella donde los cortes forman una unión en "T". Esto sucede cuando un primer corte divide el cuadrado en dos piezas y, posteriormente, un segundo corte perpendicular divide solo una de esas piezas. Para contar estas disposiciones, se considera un primer corte horizontal en cualquiera de las $7$ líneas posibles. Este corte genera dos rectángulos; el primero puede subdividirse verticalmente de $7$ formas y el segundo también de $7$ formas, sumando $14$ opciones por cada línea horizontal ($7 \times 14 = 98$). Al aplicar el mismo razonamiento para un primer corte vertical, se obtienen otras $98$ configuraciones.

Finalmente, al sumar las $42$ formas de cortes paralelos y las $196$ formas de cortes en "T", se concluye que existen exactamente $238$ maneras distintas de dividir el cuadrado bajo las condiciones establecidas.