Un número es chévere si es a la vez suma de 2 números consecutivos y 3 números consecutivos. ¿Cuántos números entre 2000 y 2021 son chéveres?

A number is chévere if it is both the sum of 2 consecutive numbers and 3 consecutive numbers. How many numbers between 2000 and 2021 are chévere?

A) 4

Observe que si $n$ es un número chévere, entonces existen enteros $x$ e $y$ tales que

\begin{align*}
n&=(x-1)+x=2x-1, &;\rightarrow \text{suma de dos números consecutivos,}\
n&=(y-1)+y+(y+1)=3y. &;\rightarrow \text{suma de tres números consecutivos.}
\end{align*}
De estas dos igualdades, podemos concluir que para que un número sea chévere, debe ser impar y múltiplo de 3. Por lo tanto, existen 4 números chéveres entre 2000 y 2021: 2001, 2007, 2013 y 2019.

Supongamos que un hexágono regular y un cuadrado comparten un lado como en la figura.

Suppose a regular hexagon and a square share a side as in the figure.

Sean $A$ el área del hexágono y $B$ el área del cuadrado. El cociente $\dfrac{A}{B}$ es igual a

Let $A$ be the area of the hexagon and $B$ the area of the square. The quotient $\dfrac {A} {B}$ is equal to

A) $\dfrac{3\sqrt{3}}{2}$

Sea $r$ la medida del lado compartido por el hexágono y el cuadrado, tenemos que el área del cuadrado es $B=r^2$ y el área del hexágono es $6$ veces el área de un triángulo equilátero de lado $r$.

Usando el teorema de Pitagoras obtenemos que la altura de este triángulo es $\dfrac{\sqrt{3}r}{2}$. Así el área de cada triángulo es $\dfrac{\sqrt{3}r^2}{4}$ y el área del hexágono es $A=\dfrac{3\sqrt{3}r^2}{2}$. Concluimos que $\dfrac{A}{B} = \dfrac{3\sqrt{3}}{2}$.

Un medicamento cuesta $120. Luego de una disminución del precio, el número de compradores se aumentó en la mitad y el dinero recaudado por la venta aumentó en una cuarta parte. ¿En cuánto se disminuye el precio del medicamento?

A drug costs $120. After a price decrease, the number of buyers was increased by half and the money raised from the sale increased by a quarter. How much is the price of the medicine reduced?

A) $20

Sea $P$ el precio inicial, $C$ el numero de compradores y $d$ el descuento. Se tiene: $PC = 12000\quad \mbox{y}\quad C\left(1+ \frac{1}{2}\right)P(1-d)= 12000\left(1+ \frac{1}{4}\right)$. Reemplazando $PC$ en la segunda ecuacion, se tiene que $d$ es $\frac{1}{6}$ y por ello el descuento fue de $\frac{1}{6} (12000)=200$, que es la respuesta.

La menor distancia entre las localidades $A$ y $B$ separadas por $5$ montañas encadenadas (una seguida de la otra) que forman triángulos equiláteros con la horizontal es de $14$ kilómetros.

The smallest distance between the localities $A$ and $B$ separated by $5$ chained mountains (one followed by the other) that form equilateral triangles with the horizontal is $14$ kilometers.

¿Cuál es la distancia que se debe recorrer sobre las montañas para ir de $A$ hasta $B$ y regresar?

What is the distance that must be traveled over the mountains to get from $A$ to $B$ and back?

A) 56

Como cada triángulo es equilátero, sus lados miden igual. Por lo tanto, ir de A a B sobre las
montañas es igual al doble de la distancia horizontal, es decir, 28 kilómetros. Como la pregunta es
sobre la distancia de A a B ida y regreso sobre las montañas, entonces la respuesta es 56 kilómetros.

Andrea está diseñando el logo de su nuevo emprendimiento, para ello inicia trazando una circunferencia como se muestra a continuación. Si ahora desea inscribir un cuadrado en esta circunferencia, ¿qué área tendrá este cuadrado?

Andrea is designing the logo of her new venture, to do this she begins by drawing a circumference as shown below. If she now wants to inscribe a square on this circumference, what area will this square have?

A) $85\,cm^2$

Sean $A$ el vértice del ángulo recto de la escuadra, $B$ el punto de intersección de la circunferencia con el lado de la escuadra a los $7\,cm$ y $C$ el punto de intersección de la circunferencia con el otro lado de la escuadra a los $11\,cm.$ Note que el triángulo $ABC$ es rectángulo en $A$ y está inscrito en la circunferencia, luego su hipotenusa $\overline{BC}$ es diámetro de la circunferencia y por el Teorema de Pitágoras, se tiene que
\begin{align*}
BC^2&=7^2+11^2=170.
\end{align*}
Por otro lado, note que al inscribir un cuadrado en una circunferencia, su diagonal coincide con un diámetro de la circunferencia. Sean $L$ y $D$ las longitudes del lado y la diagonal de este cuadrado, respectivamente. Por el Teorema de Pitágoras,
\begin{align*}
D^2&=L^2+L^2,\
L^2&=\dfrac{D^2}{2}.
\end{align*}
De lo anterior se tiene que $D^2=170,$ por lo tanto el área del cuadrado inscrito es $L^2=\dfrac{170}{2}=85\,cm^2.$

Alrededor de una mesa redonda hay 10 sillas numeradas del 1 al 10. Cinco matrimonios desean sentarse de modo que hombres y mujeres se alternen, pero que ningún hombre quede al lado de su esposa. ¿De cuántas maneras pueden hacerlo?

Around a round table there are 10 chairs numbered from 1 to 10. Five couples want to sit so that men and women alternate, but that no man is next to his wife. In how many ways can they do it?

A) 3120

Los hombres pueden sentarse en las sillas pares o en las impares. Además pueden ordenarse entre ellos de $5!=120$ maneras. Es decir que pueden sentarse de $2\times 120 = 240$ maneras. Una vez sentados los hombres, las mujeres pueden sentarse de 13 maneras. Esto puede verse enumerando todas as maneras, o bien aplicando el principio de inclusiones y exclusiones. Así la respuesta es $240\times 13 = 3120$.

En un plano se trazan $n$ rectas diferentes, de modo que no haya tres de ellas concurrentes, es decir, que no se cortan en un mismo punto. Hay 4 de las $n$ rectas que son paralelas, y no hay ningún otro par de rectas paralelas aparte de los formados por dos rectas de esas cuatro. Si hay 294 puntos de intersección de rectas, ¿cuál es el valor de $n$?

On a plane, $n$ different lines are drawn so that no three of them are concurrent, that is, they do not intersect at the same point. There are 4 of the $n$ lines that are parallel, and there are no other pairs of parallel lines apart from those formed by two lines of those four. If there are 294 points of intersection of lines, what is the value of $n$?

A) 25

Cada una de las 4 rectas paralelas intersecta a cada una de las $n-4$ rectas restantes, lo que da $4(n-4)$ puntos de intersección. Además las $n-4$ rectas no paralelas se intersectan entre sí en $\binom{n-4}{2}$ puntos. Por lo tanto
$4(n-4)+\frac{(n-4)(n-5)}{2} = 294,$
de donde $n^2-n-600=0$, cuya única raíz positiva es 25.

¿Cuántos números positivos divisibles por $9$ de cuatro dígitos hay tal que los dígitos que los componen no son cero y no son divisibles por $3$?

How many positive four-digit numbers divisible by $9$ are there such that the digits that compose them are not zero and are not divisible by $3$?

A) 162

Para que un número de cuatro dígitos, digamos $n=abcd$, sea divisible por $9$ se tiene que $a+b+c+d=9k$. El menor valor que puede tomar $9k$ es $9$ y el mayor $27$.
Una pequeña exploración muestra que las únicas posibilidades de para obtener $9$ son:

\begin{eqnarray}
9&=&1+1+2+5,\
9&=&2+2+1+4
\end{eqnarray}

Lo anterior debido a que los dígitos $a,b,c,d \not\in \lbrace0,3,6,9 \rbrace$

Análogamente las posibilidades para obtener $18$ son

\begin{eqnarray}
18&=&1+1+8+8,\
18&=&2+2+7+7,\
18&=&4+4+5+5,\
18&=&2+4+4+8,\
18&=&1+5+5+7,\
18&=&1+2+7+8,\
18&=&1+4+5+8,\
18&=&2+4+5+7.
\end{eqnarray}

Por último las opciones para obtener $27$ son

\begin{eqnarray}
27&=&4+7+8+8,\
27&=&5+7+7+8
\end{eqnarray}

Observe que las ecuaciones $(1),(2),(6),(7),(11)$ y $(12)$ contienen un sólo dígito repetido y por cada ecuación de estas debemos permutar los dígitos tenemos así $\frac{4!}{2!}=\frac{24}{2}=12$. Por lo tanto, la cantidad de números $abcd$ divisibles por 9 con dos dígitos iguales y la condición dada son $6\times 12=72$.

Por otro lado, las ecuaciones $(3),(4)$ y $(5)$ muestran los números buscados usando solo dos dígitos, es decir, hay dos repeticiones y las posibles permutaciones en cada una de estas ecuaciones es $\frac{4!}{2!2!}=\frac{24}{2\times 2}=6$. Así que hay $3 \times 6=18$ números con las condiciones pedidas y que tienen dos dígitos repetidos.

Por último, las ecuaciones $(8),(9)$ y $(10)$ muestran los números buscados con todos los dígitos distintos de estos hay $4!=24$ y por tanto hay un total $3 \times 24=72$ números con las condiciones pedidas y que tienen dos dígitos repetidos.

Resumiendo el total de números de cuatro dígitos tal que ninguna de las cifras que lo componen son divisibles por $3$ o son cero es $72+18+72=162$.

El rectángulo $ABCD$ tiene área $120$ cm$^2$. El punto $E$ satisface que $\overline{AD}=2\overline{ED}$ y $F$ es un punto sobre $\overline{BC}$. Si se conoce que las áreas de los triángulos $EGD$ y $ABH$ son $12$ cm$^2$ y $10$ cm$^2$ respectivamente, ¿cuál es el valor del área en centímetros cuadrados del cuadrilátero $EHFG$? (no escriba unidades en su respuesta)

The rectangle $ABCD$ has area $120$ cm$^2$. The point $E$ satisfies that $\overline {AD} = 2 \overline {ED}$ and $F$ is a point on $\overline {BC}$. If the areas of the triangles $EGD$ and $ABH$ are known to be $12$ cm$^2$ and $10$ cm$^2$ respectively, what is the value of the area in square centimeters of quadrilateral $EHFG$? (do not write units in your answer)

28
28 cm^2
28 cm2
28cm^2
28cm2

Primero observemos que las áreas de los triángulos $BCE$ y $AFD$ son la misma ya que tienen igual base y altura. Por lo tanto,
\begin{equation*}
A(\triangle AFD)=A(\triangle BCE)=\dfrac{\overline{BC}\times\overline{CD}}{2}=\dfrac{120}{2}=60 \ \text{cm}^2.
\end{equation*}
Por otro lado, dado que $\overline{AE}=\overline{ED}$ se tiene
\begin{equation*}
A(\triangle ABE)=A(\triangle ECD)=\dfrac{\overline{ED}\times\overline{DC}}{2}=\dfrac{\overline{AD}\times\overline{DC}}{4}=\dfrac{120}{4}=30 \ \text{cm}^2.
\end{equation*}
De esta manera se obtiene que
\begin{equation*}
A(\triangle AHE)=A(\triangle ABE)-A(\triangle ABH)=30-10=20 \ \text{cm}^2,
\end{equation*}
y así
\begin{equation*}
A(EHFG)=A(\triangle AFD)-A(\triangle AHE)-A(\triangle EGD)=60-20-12=28 \ \text{cm}^2.
\end{equation*}

Si $a$ y $b$ son números enteros cuyo producto es $6$, ¿cuál es el menor valor posible de $a^b$? (Si tu respuesta es racional, escríbela así: m/n, -m/n, 2/3, -2/3)

If $a$ and $b$ are integer numbers whose product is $6$, what is the smallest possible value of $a^b$? (If your answer is rational, write it like this: m/n, -m/n, 2/3, -2/3)

-1/6
-(1/6)
(-1)/6
1/(-6)
1/-6

Tenemos que las parejas ordenadas donde se cumple este es

$a=1$ y $b=6 \Rightarrow(1,6)$

$a=6$ y $b=1 \Rightarrow(6,1)$

$a=-1$ y $b=-6 \Rightarrow(-1,-6)$

$a=-6$ y $b=-1 \Rightarrow(-6,-1)$

$a=3$ y $b=2 \Rightarrow(3,2)$

$a=2$ y $b=3 \Rightarrow(2,3)$

$a=-3$ y $b=-2 \Rightarrow(-3,-2)$

$a=-2$ y $b=-3 \Rightarrow(-2,-3)$

En consecuencia, el menor valor de la potencia $a^b$ es

$a^{b}=\left(-6\right)^{-1}=\frac{1}{\left(-6\right)^{1}}=-\frac{1}{6}$

¿Cuál es el residuo que deja el número $\underset{333\ unos}{\underbrace{111\dots 11}}$ cuando se divide entre $15$?

What is the remainder of the number $\underset {333\ ones}{\underbrace{111\dots11}}$ when divided by $15$?

6

Note que
$\underset{333\ unos}{\underbrace{111\dots 11}}=\underset{331\ unos}{\underbrace{111\dots 11}}05+{\bf 6}$
y el número $\underset{331\ unos}{\underbrace{111\dots 11}}05$ es múltiplo de $15,$ ya que es múltiplo de $5$ (pues termina en $5$), y es múltiplo de $3$ (pues la suma de sus cifras es $331+5=336$ que es múltiplo de $3$). Por lo tanto el residuo que se obtiene al dividir $\underset{333\ unos}{\underbrace{111\dots 11}}$ entre $15$ es $6.$

Sea $S(n)$ la suma de los dígitos del entero positivo $n$. Halle el mayor entero $N$ de cuatro dígitos tal que $S(N+234) = S(N)$.

Let $S(n)$ be the sum of the digits of the positive integer $n$. Find the largest four-digit integer $N$ such that $S(N+234)=S (N)$.

9759
9,759
9.759

$S(N+234)$ es igual a $S(N) + S(234) - 9c$, donde $c$ es el número de acarreos o llevadas realizadas al sumar $N+234$. Luego $S(N+234) = S(n)$ equivale a $S(234) - 9c = 0$, es decir a $c = 1$. Para obtener el mayor $N$ posible de cuatro dígitos comenzamos por poner 9 en las unidades de 1000. Ahora no puede haber acarreo en las centenas pues habría un segundo acarreo en las unidades de 1000. Luego el dígito más grande posible en las centenas es 7. Ahora no puede haber acarreo en las decenas pues también los habría en las centenas y en las unidades de 1000. Entonces la única posibilidad de acarreo que nos queda es en las unidades, y ponemos 9 como dígito de las unidades. En las decenas el mayor dígito que podemos poner es 5, pues con 6 o más habría otro acarreo en las decenas. Luego el mayor $N$ posible es 9759.