Hallar la mayor potencia de $2$ que divida a $(2^4)!$.

Nota:

Los números $2,4,8,16,\ldots$ son potencias de $2$, esto es, son de la forma $2^k,\,k=1,2,3,\ldots$
Para cualquier número natural $n\geq 1$, se define $n!$ como

$n!=1\times 2\times 3\times\cdots\times n.$

Find the greatest power of $2$ that divides $(2^4)!$.

Note:

The numbers $2,4,8,16,\ldots$ are powers of $2$, that is, they have the form $2^k,\,k=1,2,3,\ldots$
For any natural number $n\geq 1$, $n!$ is defined as
$n!=1\times 2\times 3\times\cdots\times n.$

A) $2^{15}$

Como $2^4=16$, entonces $(2^4)!=16=1\times 2\times 3\times \cdots\times 16.$

Ahora observemos los números pares que hay entre $1$ y $16$.

$2$, $4=2^2$, $6=2\times 3$, $8=2^3$, $10=2\times 5$, $12=2^2\times 3$, $14=2\times 7$, $16=2^4$.

Por tanto $2^{15}$ es la mayor potencia de $2$ que divide a $(2^4)!$.

Sobre los lados de un hexágono cuyo lado mide $1\, \text{cm}$, se construyen triángulos equilateros, formando así la estrella de David.

Encuentre el área de dicha estrella.

On the sides of a hexagon whose side measures $1\, \text{cm}$, equilateral triangles are built, thus forming the Star of David.

Find the area of the star.

A) $3\sqrt{3}$

La estrella de David, se compone de $12$ triángulos equiláteros congruentes de lado $1\, \text{cm}$.

Cada uno de estos, triángulos tiene área $\dfrac{\sqrt{3}}{4}\text{cm}^2$. Por tanto el área de la estrella de David es $3\sqrt{3}\,\text{cm}^2$.

A Pedro y su padre les agrada jugar a las adivinanzas matemáticas; en esta ocasión Pedro le dijo a su padre la siguiente adivinanza: la suma de dos números es 10 y su producto es 20, adivina cuánto es la suma de sus recíprocos (inversos multiplicativos), ¿cuál es la respuesta que debe dar el padre de Pedro?

Pedro and his father like to play with mathematical riddles; this time Pedro told his father the following riddle: The sum of two numbers is 10 and their product is 20, find out what the sum of their reciprocals (multiplicative inverses) is. What is the answer that Pedro's father should give?

A) $\frac{1}{2}$

Tenemos el sistema de ecuaciones
$x + y = 10$
$x * y =20$
De donde, $x = 10 -y$, reemplazando tenemos $(10-y) *y =20$, luego
$10y-y^{2} =20$
$-y^{2}+10y -20 =0$
Usando la fórmula cuadrática para hallar el valor de $y$,

$\frac{-10 \pm \sqrt{10^{2} -4 (-1)(-20)} }{2(-1)} = \frac{-10 \pm \sqrt{100 -80} }{-2} = \frac{-10 \pm \sqrt{20} }{-2} = \frac{-10 \pm 2 \sqrt{5} }{-2}$

Por tanto, $y$ puede tomar los siguientes valores:
$y_{1}= 5 - \sqrt{5}$ y $y_{2}= 5 + \sqrt{5}$, y por consiguiente los valores de $x$ son: $x_{1}= 5 + \sqrt{5}$ y $x_{2}= 5 - \sqrt{5}$.

Asi pues, la suma de los recíprocos para $x_{1}$ y $y_{1}$ es:

$\frac{1}{x_{1}}+ \frac{1}{y_{1}} = \frac{1}{5 + \sqrt{5}}+ \frac{1}{5 - \sqrt{5}} = \frac{(5-\sqrt{5})+(5+\sqrt{5})}{(5 + \sqrt{5})*(5-\sqrt{5})} = \frac{10}{25 -5 \sqrt{5}+5\sqrt{5} - 5} = \frac{1}{2}$

De manera análoga para $x_{2}$ y $y_{2}$:
$\frac{1}{x_{2}}+ \frac{1}{y_{2}} = \frac{1}{5 - \sqrt{5}}+ \frac{1}{5 + \sqrt{5}} = \frac{(5+\sqrt{5})+(5-\sqrt{5})}{(5 + \sqrt{5})*(5-\sqrt{5})} = \frac{10}{25 -5 \sqrt{5}+5\sqrt{5} - 5} = \frac{1}{2}$

En ambos casos la respuesta es $\frac{1}{2}$.

Otra solución: Si tenemos que $x + y = 10$ y $x * y =20$, y dividimos la 1ra ecuación entre la 2da, obtenemos $\frac{x + y}{xy} = \frac{1}{y}+\frac{1}{x}= \frac{10}{20}=\frac{1}{2}.$

En la feria de juegos hay una nueva atracción, la cual consiste en obtener exactamente 100 puntos en una ruleta con la menor cantidad de tiros posibles. ¿Cuántos tiros puedo hacer para obtener el resultado requerido en el juego?

At the game fair there is a new attraction, which consists of obtaining exactly 100 points in a roulette wheel with the fewest possible shots. How many shots can I take to get the result required in the game?

A) 4

La mejor opción donde se consiga $100$ puntos, es realizando cuatro lanzamientos, ya que $26+26+38+10=100$. Es fácil ver que con tres lanzamientos no se puede, así que 4 es el mínimo número de tiros.

Para la clase de manualidades, Felipe quiere armar un cubo de papel de lado 4 centímetros y su hermano Juan quiere hacer uno más grande y le aumenta el 50% a cada lado del cubo de Felipe. Diga en qué porcentaje aumentó el área superficial del cubo de Juan con respecto al cubo de Felipe.

For the art class, Felipe wants to assemble a paper cube with a side of 4 cm and his brother Juan wants to assemble a biger one and augments by 50% the length of each side in Felipe's cube. Figure out by what percentage did the superficial area of Juan's cube augment relative to Felipe's cube.

A) $125 \%$

Cada lado del cubo de Felipe tiene $4\mathrm{\,cm}$, por ende, los lados del cubo de Juan son de $6\mathrm{\,cm}$ ya que este le aumento el $50 \%$ respecto al de su hermano.

El área del cubo de Felipe es la siguiente: $A= 6* L^{2} = 6 * (4\mathrm{\,cm})^{2} = 96 \mathrm{\,cm}^2$.

Por otro lado, el área del cubo de Juan es: $A= 6 * 6^{2} = 216 \mathrm{\,cm}^2$

Luego, si $x$ es el porcentaje de aumento del área de un cubo respecto al otro, entonces obtenemos la ecuación: $96+96x\%=216$, despejando $x\%$ tenemos $x\%=\frac{216-96}{96}=1.25$ y multiplicando por 100, obtenemos que el porcentaje de aumento es: $125\%$.

Un trozo de pastel con forma de cubo de lado $10 \mathrm{\,cm}$ se corta por el plano que pasa por los puntos $A$, $B$ y $C$, como muestra la figura, quedando así en dos trozos de diferente tamaño. Encontrar el volumen del trozo más grande.

A piece of cake in the shape of a cube with a side of $10 \mathrm{\,cm}$ is cut by the plane that passes through the points $A$, $B$ y $C$, as shown in the figure, thus resultinging in two pieces of different sizes. Find the volume of the largest piece.

A) $\frac{2500}{3}\; \text{cm} ^3$

Observemos que el volumen del trozo de pastel completo es de $10 \times 10 \times 10=1000$ centímetros cúbicos. Por otro lado, el trozo más pequeño es una pirámide con base un triángulo isósceles rectángulo cuyos catetos son los lados del cubo. La altura de dicha pirámide es también uno de los lados del cubo.

Usando la formula para el volumen de la pirámide, la cual es
$V=\frac{1}{3}\;\text{Área de la base}\times \text{Altura},$
tenemos que el área de la base es $\frac{1}{2} 10 \times 10=50 \; \text{cm} ^2$. Por tanto el volumen del trozo pequeño es $V=\frac{1}{3}\; 50 \times 10\; \text{cm}^3= \frac{500}{3}\; \text{cm} ^3.$

Asi que el volumen total de el trozo más grande es

$1000-\frac{500}{3}=\frac{2500}{3}\; \text{cm} ^3.$

El robot en la figura debe de ir de la ciudad en la que está hasta la otra que muestra la figura. Si solo se puede mover de izquierda a derecha y de abajo hacia arriba, ¿cuántos caminos puede tomar en el plano cuadriculado si no puede pasar por la esquina de la roca que se muestra?

The robot in the figure must go from the city it is in to the other city shown in the figure. If it can only move right or up, how many paths can it take in the square lattice if it cannot go through the intersection with the rock, shown in the figure?

A) $\binom{17}{6}- \binom{7}{3} \binom{10}{3}$

Para contar los caminos que hay de la ciudad del robot hasta la otra, se debe saber que para ir por cualquiera de los caminos se tienen que recorrer 17 calles, 11 horizontales y 6 verticales. y se debe elegir por donde se va a la derecha o por donde se sube. Por lo tanto, el número de formas que hay de ir de la ciudad del robot a la ciudad siguiente es $\binom{17}{6}$.

El caso anterior no considera el paso por la esquina de la roca, que no se puede. Asi que se debe restar la cantidad de caminos que hay para ir hasta la roca que es $\binom{7}{3}$ y a esa cantidad se le multiplica por el número de caminos que hay para ir de la roca a la otra ciudad $\binom{10}{3}$. Asi que la cantidad de formas para ir de la ciudad del robot a la otra es $\binom{17}{6} - \binom{7}{3} \binom{10}{3}.$

Omar tiene un número de 4 dígitos que es múltiplo de 11. Se decide modificar el número agregando dígitos cero entre cada dos dígitos del número original y encuentra que también este es múltiplo de 11. ¿Cuántos números de estos hay?

Omar has a 4-digit number that is a multiple of 11. He decides to modify the number by adding zero digits between each two digits of the original number and finds that this is also a multiple of 11. How many of these numbers are there?

A) 72

Representemos por $abcd$ los números de cuatro dígitos que son múltiplos de 11. Usando el criterio de divisibilidad por 11 nos podemos dar cuenta que $a+c$ debe ser 11 y $b+d$ debe ser 11 o 0. Por tanto, solo existen 8 opciones para $a$ y 9 opciones para $b$, es decir, en total hay 72 números.

Santiago y Esteban apuestan una carrera de 60m; Santiago gana por 10m. Si ellos vuelven a apostar otra carrera de 78m, y si cada niño corre a la misma velocidad con que corrió la primera carrera, ¿por cuántos metros le gana Santiago a Esteban? (escriba sólo un número, sin unidades)

Santiago and Esteban bet on a 60m race; Santiago wins by 10m. If they bet on another 78m race again, and if each boy runs at the same speed with which he ran the first race, by how many meters does Santiago beat Esteban? (write only a number, no units)

13

Santiago corre 20% más rápidamente que Esteban, pues recorre 60m en el mismo tiempo que Esteban corre 50m. Dicho de otra forma, la distancia recorrida por Santiago siempre será 1.2 veces aquella recorrida por Esteban. $65(1.2)=78$, por tanto Santiago gana por 13m.

Halle el menor número natural $n$ tal que $2023\times n$ sea un cuadrado perfecto.

Nota: Un cuadrado perfecto es un número de la foma $k^2$.

Find the smallest natural number $n$ such that $2023\times n$ is a perfect square.

Note: A perfect square is a number of the form $k^2$.

7

Factoricemos $2023$ en factores primos, esto es $2023=(17)^2\times 7$, así el menor número natural para que $2023\times n$ sea un cuadrado perfecto es $n=7$, con ello $2023\times n=(17)^2\times 7^2=(17\times 7)^2$.

Un número de más de tres cifras se dice que tiene la propiedad Fibonacci si cada dígito a partir del tercero es la suma de los dos anteriores. Por ejemplo, el 1347 tiene la propiedad Fibonacci, pues el tercer dígito es $4=1+3$, y el cuarto es $7=3+4$. Encontrar la suma de los dígitos del número más grande con la propiedad de Fibonacci.

A number with more than three digits is said to have the Fibonacci property if every digit starting from the third is the sum of the two previous digits. For example, 1347 has the Fibonacci property, since the third digit is $4=1+3$, and the fourth is $7=3+4$. Find the sum of the digits of the largest number with the Fibonacci property.

21

Notemos que los dígitos van creciendo, pues son la suma de los dos anteriores. Así que, para que un número tenga muchos dígitos se necesita que la suma de los dos primeros dígitos sea lo más pequeña posible. Esto se logra cuando el primer dígito es 1 y el segundo es 0, así el número es 10112358, cuya suma de dígitos es $1+0+1+1+2+3+5+8=21$.

Analicemos ahora el caso en el que la suma más pequeña para el tercer dígito es 2. Los posibles números son 202246 y 112358. Note entonces que si se hace que el tercer dígito sea más grande, la suma crece rápidamente, lo que significa que el número tendrá menos de ocho dígitos (es decir, será pequeño). Por lo tanto, el número más grande con la propiedad de Fibonacci es 10112358, y la suma de sus dígitos es 21.

Si $p$, $q$ y $r$ son números primos tales que $p(p+q)=r-150,$ halle la menor suma $p+q+r$.

If $p$, $q$ and $r$ are prime numbers such that $p(p+q)=r-150,$ find the smallest possible sum $p+q+r$.

306

Como la parte izquierda de la ecuación es positiva, entonces la parte derecha también lo es, por lo que $r>150$, lo que significa que $r$ es impar ya que no puede ser $2$ y así $r-150$ es un número impar.

Por ser el lado derecho impar, $p$ es impar y para que $p+q$ sea un número impar, entonces $q=2$.

Reescribiendo la ecuación se obtiene que $p^2+2p=r-150$. Pero note que si completa el cuadrado al lado izquierdo se llega a que $(p+1)^2=r-149.$

Se debe encontrar un primo $r$ mayor que $150$, que al restarse con $149$, sea igual a un cuadrado o se debe encontrar un primo $p$ que al sumarle $1$ y elevarse al cuadrado y sumarle $149$, de un primo.

Los primeros números que satisfacen esto son $p=11$ y $r=293$.

Por lo tanto: $p+q+r=11+2+293=306.$