En una carrera automovilística en la que participan Rosa, Jorge y Oscar, dan 20 vueltas en un circuito con los siguientes tiempos. A Oscar le toma 2 minutos y medio completar una vuelta, a Jorge le toma 2 minutos y 45 segundos completar una vuelta y a Rosa le toma 2 minutos y 15 segundos en completar una vuelta. Suponga que la velocidad se mantiene igual para cada uno de los corredores. Cuando Jorge complete la última vuelta, ¿cuántos minutos por detrás de Rosa llega Jorge?

In a car race in which Rosa, Jorge and Oscar participate, they do 20 laps on a circuit with the following times. It takes Oscar 2 and a half minutes to complete a lap, it takes Jorge 2 minutes and 45 seconds to complete a lap, and it takes Rosa 2 minutes and 15 seconds to complete a lap. Assume that the speed remains the same for each of the runners. When Jorge completes the last lap, how many minutes behind Rosa is Jorge?

A) 10 minutos

No es relevante saber cuánto se demoró Oscar, lo que en realidad cuenta son los tiempo de Rosa y Jorge.

Jorge tarda 30 segundos más que Rosa en completar una vuelta. Por lo tanto, Jorge tarda 1 minuto más que Rosa en completar dos vueltas y 10 minutos más que Rosa en completar veinte vueltas.

Por lo tanto, Rosa habrá llegado 10 minutos antes que Jorge al final de las viente vueltas.

Una sucesión Fibonacci se construye a partir de sus dos términos iniciales llamados ''semillas'', así, cada término, a partir del tercero, es la suma de los dos números inmediatamente anteriores. Con las semillas $1$ y $1$ se construye la sucesión Fibonacci cuyos primeros términos son:

$1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,...$

Mateo construyó su propia sucesión Fibonacci, pero luego borró algunos de los números, para retar a sus compañeros a adivinarlos, como se muestra en la siguiente imagen.

¿Cuál número debería ocupar el espacio con el signo de interrogación?

A Fibonacci sequence is constructed from its two initial terms called ''seeds'', thus, each term, starting from the third, is the sum of the two immediately preceding numbers. With the seeds $1$ and $1$ the Fibonacci sequence is constructed whose first terms are:

$1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,...$

Mateo built his own Fibonacci sequence, but then erased some of the numbers, to challenge his classmates to guess them, as shown in the following image.

Which number should occupy the space with the question mark?

A) 19

Llamemos $x$ a la segunda semilla (el segundo término), entonces la sucesión de Mateo queda:
$5,\,x,\,x+5,\,2x+5,\,3x+10,\,5x+15,\,8x+25,\dots$
De modo que $8x+25=81,$ y de ahí que $x=7.$ Por lo tanto, el término que debe ocupar la posición con el signo de interrogación es: $2x+5=2(7)+5=19.$

La profesora de matemáticas escribió en el tablero once números en fila. Los números estaban ordenados de menor a mayor, siendo $\frac{1}{2}$ el primero y $\frac{19}{2}$ el último. Además se cumplía que la diferencia entre cualquier par de números adyacentes era la misma. Uno de esos números es entero. ¿Cuál era el entero que aparecía en la lista de números del tablero?

The math teacher wrote eleven numbers in a row on the board. The numbers were ordered from smallest to largest, with $\frac{1}{2}$ being the first and $\frac{19}{2}$ being the last. Furthermore, it was true that the difference between any pair of adjacent numbers was the same. One of those numbers is an integer. What was the integer that appeared in the list of numbers on the board?

A) 5

Como la diferencia entre dos números adyacentes es la misma y son once números en la lista, tenemos en total diez diferencias, por lo que podemos decir que dicha diferencia es igual a:

$\left(\frac{19}{2} − \frac{1}{2}\right)\times\left(\frac{1}{10}\right) = \frac{9}{10}.$

Luego, podemos sumar el resultado anterior al primer número de la sucesión obteniendo su sucesor. Continuamos hasta encontrar el entero, que en este caso es el número 5.

En la cuadrícula de tamaño $10\times 10$ que se muestra, se dibuja un punto $P$ en el interior del triángulo $ABC$, el cual puede estar en cualquiera de los puntos de intersección de las líneas de la cuadrícula que están en el interior del triángulo. Para cada posible ubicación de $P$, se forma un triángulo $BPC$. ¿Cuántos de estos triángulos tienen área que es un divisor del área del triángulo $ABC$?

Nota: el interior del triángulo NO incluye los lados.

On the grid of size $10\times 10$ shown, a point $P$ is drawn inside the triangle $ABC$, which can be at any of the intersection points of the grid lines that are in the interior of the triangle. For each possible location of $P$, a triangle $BPC$ is formed. How many of these triangles have an area that is a divisor of the area of triangle $ABC$?

Note: the interior of the triangle does NOT include the sides.

A) 21

El triángulo $ABC$ tiene área igual a $\frac{10\times 10}{2}=50$. Por lo que buscamos triángulos de área $1$, $2$, $5$, $10$, $25$ y $50$. Analicemos cuáles de estos triángulos no son posibles.
El área de un triángulo con base $BC$ será $\frac{10\times h}{2}=5\times h$, donde $h$ es la altura del triángulo. Esto quiere decir que estamos buscando triángulos cuyas áreas son múltiplos de $5$. Lo que descarta los dos primeros (áreas de $1$ y $2$). El triángulo de área $50$ también queda descartado porque sería el mismo triángulo $ABC$ y esto contradice el hecho de que el punto $P$ es interior. Los demás casos sí son posibles porque:

Si el área es $5$, entonces $h=1$, es decir, el triángulo tiene altura $1$. Hay $9$ de éstos.
Si el área es $10$, entonces $h=2$, es decir, el triángulo tiene altura $2$. Hay $7$ de éstos.
Si el área es $25$, entonces $h=5$, es decir, el triángulo tiene altura $5$. Hay $5$ de éstos.

Por lo tanto, el área de los triángulos con base $BC$ de alturas $1$, $2$ y $5$ es un divisor del área del triángulo $ABC$. En total, hay $21$ triángulos que satisfacen la condición. Las $21$ posibles ubicaciones del punto $P$ se muestran en la siguiente figura. En azul se ilustra un triángulo de altura $5$, en verde uno de altura $2$, y en rojo uno de altura $1$.

Isabel le pide a su hermano que forme todos los números de cinco cifras distintas con los dígitos $1$, $3$, $5$, $7$, $9$. ¿Qué lugar ocupará el número $51379$ si suponemos ordenados todos esos números en forma creciente?

Isabel asks her brother to form all the five-digit numbers with distinct digits using the digits $1$, $3$, $5$, $7$, $9$. What place will the number $51379$ occupy if we assume that all these numbers are arranged in increasing order?

A) 49

Observe que $51379$ es el número más pequeño de los que empiezan por $5$, luego será el primero de todos ellos. Fijando el $1$, tendremos $P = 4! = 24$ números que empiezan por $1$ y si fijamos el $3$, tendremos también $P = 4! = 24$ que empiezan por $3$. Luego desde el primero hasta el puesto número $48$ empiezan por $1$ los $24$ primeros y por $3$ los $24$ restantes. El número de la posición $49$ empezará con $5$, y es precisamente nuestro número.

Así, la posición que ocupa el $51379$ en una ordenación creciente de las permutaciones es la posición $49$.

Del conjunto $S=\left\lbrace 2,\,3,\,4,\,5,\,6,\,7,\,8\right\rbrace$, Santiago eligió dos números y notó que la multiplicación de estos dos números era igual a la suma de los $5$ números no elegidos. ¿Cuál es la diferencia entre el mayor y el menor de los números elegidos por Santiago?

From the set $S=\left\lbrace 2,\,3,\,4,\,5,\,6,\,7,\,8\right\rbrace$, Santiago chose two numbers and noticed that the multiplication of these two numbers was equal to the sum of the $5$ numbers not chosen. What is the difference between the largest and smallest of the numbers chosen by Santiago?

A) 5

Sean $a$ y $b$ los números elegidos, entonces:
\begin{align*}
ab&=(2+3+4+5+6+7+8)-(a+b),\
ab&= 35-a-b\
ab+a&=35-b\
a(b+1)&=35-b\
a&=\dfrac{35-b}{b+1}
\end{align*}
Pero, como $a$ y $b$ deben pertenecer a $S,$ la única solución es que $\left\lbrace a, b\right\rbrace =\left\lbrace3,\, 8 \right\rbrace$ por lo tanto, la diferencia entre el mayor y menor de estos números es $8-3=5.$

Determine con cuantos ceros termina el número $N$, dado que $N=25\times 26 \times 27 \times 28\times \cdots \times 2024.$

Determine the number of zeros the number $N$ ends with, given that $N=25\times 26 \times 27 \times 28\times \cdots \times 2024.$

A) 499

Cada cero en $N$ se produce por cada $10$ que es factor de $N$. Determinemos cuantos $10$ tiene $2024!$. Como $10=2\times 5$, esto se logra contando cuántos $2$ y $5$ aparecen como factor en $N$. Como hay más $2$ que $5$, entonces es suficiente contar la cantidad de $5$ que tiene $2024!$.

Esto se logra contando la cantidad de múltiplos de $625$, $125$, $25$ y $5$, respectivamente, que hay hasta $2024$. Así, se tienen $3$ múltiplos de $625$, $16$ múltiplos de $125$, $80$ múltiplos de $25$ y $404$ múltiplos de $5$; es decir, $503$ cincos en $2024!$ y por ello $2024!$ termina con $503$ ceros.

Ahora como el número $25\times 26 \times 27 \times 28\times \cdots \times 2024$ empieza en $25$, entonces se deben restar $4$ ceros, que generan los números $5$, $10$, $15$ y $20$. Por tanto el número términa con $499$ ceros.

Si $m$, $n$ son dos números enteros y $2^m-2^n=112$, halle el valor de $m^2-n^2$.

If $m$, $n$ are two integer numbers and $2^m-2^n=112$, find the value of $m^2-n^2$.

A) 33

$2^m − 2^n =112 = 2^4 \times7$.

Como $m>n$, tenemos que $m=n+r$ y en consecuencia $2^m-2^n=2^n(2^r-1)=2^4 \times7$.

Por tanto, $n=4$, $r=3$, $m=7$. En consecuencia, $m^2-n^2= 33$.

Observe las cuatro imágenes formadas por figuras geométricas.

¿Qué valor tiene $x$?

Nota: NO incluya unidades en su respuesta. Escriba su respuesta usando sólo números.

Observe the four images made up of geometric figures:

What is the value of $x$?

Note: DO NOT include units in your answer. Write your answer using only numbers.

5

Sea C la altura del círculo y T la altura del triángulo, tenemos que:

[1] $x − C = 3$

[2] $C + T = 4$

[3] $C + x − T = 5$

luego, sumando [1] y [2] tenemos:

$x − C + C + T = 3 + 4$, así

[4] $x + T = 7$

sumando [3] y [4] obtenemos

$x + T + C + x − T = 7 + 5$

[5] $C + 2x = 12$

finalmente sumando [1] y [5] obtenemos

$x − C + C + 2x = 3 + 12$

$3x = 15$, al despejar x tenemos:

$x = 5$

Una persona se encuentra en un punto $A$ (ver figura) y en cada movimiento se puede mover a una posición adyacente a la derecha o a la izquierda de la posición en la que se encuentra actualmente. Si hace $6$ movimientos, de todos las posibles rutas que parten de $A$, ¿cuántas terminan en $X$ o $Y$?

Nota: Escriba su respuesta usando sólo números.

A person is at a point $A$ (see figure) and with each movement he can move to an adjacent position to the right or left of the position he is currently in. If you make $6$ moves, of all the possible routes starting from $A$, how many end in $X$ or $Y$?

Note: Write your answer using only numbers.

30

Si se considera que estamos en el punto $A$ y cada movimiento a la derecha es diagonal hacia arriba y cada movimiento a la izquierda es diagonal hacia abajo, todos lo posibles movimientos son:

Este proceso forma la fila 6 del triangulo de Pascal. Para llegar a las posiciones $X$ y $Y$ el número de casos es:

$\binom{6}{2}+\binom{6}{4}=2\frac{6!}{2!4!}=30.$

Camilo tiene cuatro rectángulos idénticos de color azul y un cuadrado de color rojo. Con ellos construye un cuadrado de área $81 \rm{cm}^2$ como se muestra en la figura.

Si la longitud de la diagonal de los rectángulos es de $7\rm{cm}$, ¿cuál es el área (en $\rm{cm}^2$) del cuadrado rojo?

Nota: NO incluya unidades en su respuesta. Escriba su respuesta usando sólo números.

Camilo has four identical blue rectangles and one red square. With them he builds a square of area $81 \rm{cm}^2$ as shown in the figure.

If the length of the diagonal of the rectangles is $7\rm{cm}$, what is the area (in $\rm{cm}^2$) of the red square?

Note: DO NOT include units in your answer. Write your answer using only numbers.

17

Observemos que si trazamos las diagonales de los 4 rectángulos como se muestra en la figura, obtenemos un cuadrado de área $49 \rm{cm}^2$.

Ahora como $81-49=32$ entonces $64 \rm{cm}^2$ sería el área de los cuatro rectángulos de color azul. Como $81-64=17$, entonces el área del cuadrado rojo es de $17 \rm{cm}^2$, o también $49-32=17$.

La suma de dieciocho números enteros positivos consecutivos es un cuadrado perfecto. ¿Cuál es el menor valor posible para esta suma?

Nota: Escriba su respuesta usando sólo números.

The sum of eighteen consecutive positive whole numbers is a perfect square. What is the smallest possible value for this sum?

Note: Write your answer using only numbers.

225

Sean $x-8$, $x-7$, $x-6$,……, $x$, $x+1$, $x+2$, $x+3$,..., $x+9$, con $x>8$, los dieciocho positivos consecutivos, cuya suma vale: $18x+9$. Factorizando $18x+9$ se tiene que $18x+9=9(2x+1)=3^2(2x+1)$ que es un cuadrado perfecto, así $2x+1$ debe ser un cuadrado perfecto impar. Como $x>8$, las opciones para $2x+1$ son $25$, $49$,…, siendo el mínimo $25$. Luego el menor valor posible para la suma que cumple las condiciones es $9\times25 = 225$.